Bài tập 7 trang 135 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 135 SGK Toán 11 NC
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 10 và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3\) với mọi n ≥ 1
a. Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - \frac{{15}}{4}\) là một cấp số nhân.
b. Tìm \(\lim u_n\).
a) Ta có \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - \frac{{15}}{4} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3 - \frac{{15}}{4} = \frac{{{u_n}}}{5} - \frac{3}{4}\)
Thay \({u_n} = {v_n} + \frac{{15}}{4}\) vào ta được:
\({v_{n + 1}} = \frac{1}{5}\left( {{v_n} + \frac{{15}}{4}} \right) - \frac{3}{4} = \frac{1}{5}{v_n},\forall n\)
Vậy (vn) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{5}\)
b)
\(\begin{array}{l}
{v_1} = {u_1} - \frac{{15}}{4} = 10 - \frac{{15}}{4} = \frac{{25}}{4}\\
{v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{25}}{4}.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{n - 1}}\\
\Rightarrow \lim {v_n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{{15}}{4}
\end{array}\)
-- Mod Toán 11
Copyright © 2021 HOCTAP247