Cho tứ giác ABCD, điểm E thuộc đoạn AD và điểm G thuộc đoạn BC

* Hướng dẫn giải

+) Phân tích:

Gọi O là trung điểm của EG thì O là điểm xác định và O là trung điểm của FH.

Vì F thuộc cạnh CD nên H sẽ nằm trên đường thẳng d là ảnh của đường thẳng CD qua phép đối xứng tâm O, do đó F là giao điểm của d và AB.

+) Cách dựng:

Dựng trung điểm O của đoạn EG.

Hạ $OM\perp CD$ tại M. Lấy đối xứng của M qua O ta được điểm N. Qua N kẻ đường thẳng d song song với CD, cắt AB tại F. Nối FO cắt CD tại H.

Vậy EFGH là hình cần dựng.

+) Chứng minh:

Nên OH = OF.

Tứ giác EFGH có OE = OG, OH = OF nên EFGH là hình bình hành.

+) Biện luận:

Nếu d trùng với AB: khi đó AB // CD, O cách đều AB và CD thì bài toán có vô số nghiệm hình.

Nếu d song song với AB: khi đó AB // CD, O không cách đều AB và CD thì bài toán không có nghiệm hình.

Nếu d cắt AB: khi đó AB không song song với CD thì bài toán có một nghiệm hình.