Phân tích thành nhân tử (a+b+c)^3 -(a+b-c)^3 -(b+c-a)^3 -(c+a-b)^3

* Hướng dẫn giải

Đặt $a+b-c=x,b+c-a=y,c+a-b=z$.

Khi đó $x+y+z=a+b-c+b+c-a+c+a-b=a+b+c$

Áp dụng hằng đẳng thức:

${\left(x+y+z\right)}^3-x^3-y^3-z^3=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)$

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(a+b+c\right)}^3-{\left(a+b-c\right)}^3-{\left(b+c-a\right)}^3-{\left(c+a-b\right)}^3 \\ =3\left(a+b-c+b+c-a\right)\left(b+c-a+c+a-b\right)\left(c+a-b+a+b-c\right) \\ =3.2b.2c.2a \\ =24abc \end{gathered}$$