Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành

* Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh mọi số có dạng $A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{55...5}}}6$ đều là số chính phương. Thật vậy, đặt $\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}=a$ thì ${10}^n=9a+1$ nên:

$$\begin{gathered} A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}{.10}^n+\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{55...5}}}6 \\ \begin{array}{l}=a\left(9a+1\right)+5a+1\\ ={\left(3a+1\right)}^2\end{array} \end{gathered}$$