Cho a+b+c=0. Chứng minh a^4 +b^4 +c^4 bằng mỗi biểu thức

* Hướng dẫn giải

1. Bình phương hai vế của a+b+c=0, được:

$a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\left(1\right)$

Bình phương hai vế của (1) ta được: 

$a^4+b^4+c^4+2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)$

$=4\left[a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]$

$=4\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)$

Suy ra $a^4+b^4+c^4=2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)$

2. Bình phương hai vế của (1) ta được

$a^4+b^4+c^4+2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)=4{\left(ab+bc+ca\right)}^2\left(2\right)$

Từ (2) suy ra $2{\left(ab+bc+ca\right)}^2=\frac{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)}{2}\left(3\right)$

Từ (3) và câu 1 suy ra $a^4+b^4+c^4=2{\left(ab+bc+ca\right)}^2$

3. Bình phương hai vế của (1), chia cho 2,được: $\frac{{\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2}{2}=2{\left(ab+bc+ca\right)}^2=a^4+b^4+c^4$