Cho x ,y , z lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và thoả mãn

* Hướng dẫn giải

Ta có:

$x^3+y^3+z^3=3xyz.$

$\begin{array}{l}{x}^3+y^3+z^3+3{\text{x}}^{2}y+3\text{x}{y}^2-3xyz-3{\text{x}}^{2}y-3\text{x}{y}^2=0\\ {\left(x+y\right)}^3+z^3-3\text{x}y\left(x+y+z\right)-3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)=0\\ \left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+2\text{x}y+2\text{x}z+2yz-3\text{x}z-3yz-3\text{x}y\right)=0\\ \left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\end{array}$

Do x,y,z là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC nên x+y+z > 0

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2{\text{x}}^2+2y^2+2z^2-2\text{x}y-2\text{x}z-2yz=0\\ \Rightarrow {\left(x-y\right)}^2+{\left(y-z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2=0\end{array}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y-z=0\\ z-x=0\end{array}\right.\Rightarrow x=y=z$

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.