Cho hệ phương trình: mx+(3x-2)y+m-3=0 và 2x+(m+1)y-4=0

* Hướng dẫn giải

Hệ: $\left\{\begin{array}{c}mx+\left(3m-2\right)y+m-3=0\\ 2x+\left(m+1\right)y-4=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}mx+\left(3m-2\right)y=3-m\\ 2x+\left(m+1\right)y=4\end{array}\right.$

Ta có:

$D=\left|\begin{array}{cc}m& 3m-2\\ 2& m+1\end{array}\right|=m^2-5m+4=\left(m-1\right)\left(m-4\right)$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}3-m& 3m-2\\ 4& m+1\end{array}\right|$

$=\left(3-m\right)\left(m+1\right)-4\left(3m-2\right)=-m^2-10m+11=\left(1-m\right)\left(m+11\right)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 3-m\\ 2& 4\end{array}\right|=4m-6+2m=6m-6=6\left(m-1\right)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\iff D\ne 0\iff \left(m-1\right)\left(m-4\right)\ne 0\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 1\\ m\ne 4\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{\left(1-m\right)\left(m+11\right)}{\left(m-1\right)\left(m-4\right)}=\frac{m+11}{4-m}\left(1\right)\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{6\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m-4\right)}=\frac{6}{m-4}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ $\left(2\right)\Rightarrow \left(m-4\right)y=6\iff my=6+4y\iff m=\frac{6+4y}{y}=\frac{6}{y}+4$

Thay vào (1) ta được:

$x=\left(\frac{6}{y}+4+11\right):\left(4-\frac{6}{y}-4\right)=-\frac{6+15y}{6}=-1-\frac{15}{6}y=-1-\frac{5}{2}y$

Đáp án cần chọn là: C