Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tìm mệnh đề sai

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  \)

\(= \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} \)

\(= 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) \)

\(= 2\overrightarrow {MN} \) 

Suy ra (B) là mệnh đề đúng.

Tương tự

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

\(= \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC} \)

\( = 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right)\)

\(= 2\overrightarrow {MN} \)

Vậy (C) là mệnh đề đúng.

Cũng vậy:

\(\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {BD} \)\(\,= \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MA}  - \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} } \right)\)

\( = 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {DN} } \right)\)\( = 2\overrightarrow {MN} \)

Do đó (D) là mệnh đề đúng.