Người ta dùng \(100m\) rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn đ...

* Hướng dẫn giải

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là \(a\) và \(b\) (đơn vị: mét, \(0 < a,b < 100\)).

Giả sử cạnh không phải rào là cạnh  \(b.\)

Vậy số rào cần dùng là \(2a + b = 100\,\left( m \right).\)

Diện tích hình chữ nhật là: \(ab\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \(2a,\,\,b\) dương ta có:

\(100 = 2a + b \ge 2\sqrt {2ab}  \Leftrightarrow \sqrt {2ab}  \le 50\)

\(\Leftrightarrow ab \le 1250\,\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = b\\2a + b = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 25\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = 50\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy diện tích lớn nhất có thể rào là \(1250\,{m^2}\), khi \(a = 25m,\,\,b = 50m.\)