Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left( {m + 1} - 2\left( {m + 2} \right) + m + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \({x_1} + {x_2} + < 2\).

* Hướng dẫn giải

Để phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right) + m + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\{m^2} + 4m + 4 - {m^2} - 5m - 4 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\ - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m < 0\end{array} \right.\,\end{array}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2m + 4}}{{m + 1}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m + 4}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Ta có: \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} < 2\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2m + 4}}{{m + 1}} + \frac{{m + 4}}{{m + 1}} < 2\\ \Leftrightarrow \frac{{m + 6}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow  - 6 < m <  - 1\end{array}\)

Kết hợp các điều kiện ta được \( - 6 < m <  - 1\) thỏa mãn bài toán.