Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{ 2m\left( {x + 1} \right) \ge x + 3\\ 4mx + 3 \ge 4x \right.\) có nghiệm duy nhất.

* Hướng dẫn giải

Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {2m - 1} \right)x \ge 3 - 2m\\ \left( {4m - 4} \right)x \ge - 3 \end{array} \right..\)

Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì

\(\frac{{3 - 2m}}{{2m - 1}} = \frac{{ - 3}}{{4m - 4}}\) \( \Leftrightarrow 8{m^2} - 26m + 15 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\) hoặc \(m = \frac{5}{2}\).

Thử lại

 Với \(m = \frac{3}{4}\), hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)x \ge 3 - \frac{3}{2}}\\ { - x \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 3}\\ {x \le 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 3\): thỏa mãn.

 Với \(m = \frac{5}{2}\), hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x \ge - 2}\\ {6x \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}\): không thỏa mãn.

Vậy \(m = \frac{3}{4}\) là giá trị cần tìm.