Cho hai số thực dương a, b. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

\(\frac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} - \frac{1}{2} = \frac{{2{a^2} - {a^4} - 1}}{{2\left( {{a^4} + 1} \right)}} = - \frac{{{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^4} + 1} \right)}} \le 0,\,\,\forall a \in R \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\)

⇒ A sai

\(\frac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} - \frac{1}{2} = \frac{{2\sqrt {ab} - ab - 1}}{{2\left( {ab + 1} \right)}} = - \frac{{{{\left( {\sqrt {ab} - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {ab + 1} \right)}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} \le \frac{1}{2},\,\,\forall a,\,\,b > 0\,\,\)

⇒ B sai

\(\frac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{{a^2} + 2}} - \frac{1}{2} = \frac{{2\sqrt {{a^2} + 1} - {a^2} - 2}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}} = - \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + 1} - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{{a^2} + 2}} \le \frac{1}{2},\,\,\forall a\,\,\)

⇒ C đúng