Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} .\)

* Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3 \ge 0\\ 6 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x \le 6\) nên TXĐ \({\rm{D}} = \left[ { - 3;6} \right].\)

Ta có: \({f^2}\left( x \right) = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \)

Vì \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ { - \,3;6} \right]\) suy ra \({f^2}\left( x \right) \ge 9 \Rightarrow f\left( x \right) \ge 3.\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc x = 6. Vậy m = 3

Lại có \(2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le 3 + x + 6 - x = 9\) nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \le 18 \Rightarrow f\left( x \right) \le 3\sqrt 2 .\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x + 3 = 6 - x \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\) Vậy \(M = 3\sqrt 2 .\)

Vậy \(m = 3,\,\,\,M = 3\sqrt 2 .\)