Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 4} + \sqrt {8 - x} .\)

* Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l} x - 4 \ge 0\\ 8 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le x \le 8\) nên TXĐ \({\rm{D}} = \left[ {4;8} \right].\)

Ta có: \({f^2}\left( x \right) = 3x - 8 + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} = 3\left( {x - 4} \right) + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} + 4\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l} x - 4 \ge 0\\ \sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} \ge 0 \end{array} \right.,\,\,\forall x \in \left[ {4;8} \right]\) nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \ge 4 \Rightarrow f\left( x \right) \ge 4.\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 4. Vậy m = 2

Với \(x \in \left[ {4;8} \right]\) áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

\(x - \frac{4}{5} = x - 4 + \frac{{16}}{5} \ge 2\sqrt {\left( {x - 4} \right).\frac{{16}}{5}} = \frac{{8\sqrt {x - 4} }}{{\sqrt 5 }}.\)

\(\frac{{44}}{5} - x = 8 - x + \frac{4}{5} \ge 2\sqrt {\left( {8 - x} \right).\frac{4}{x}} = \frac{{4\sqrt {8 - x} }}{{\sqrt 5 }}.\)

⇒ \(\frac{{8\sqrt {x - 4} + 4\sqrt {8 - x} }}{{\sqrt 5 }} \le x - \frac{4}{5} + \frac{{44}}{5} - x = 8.\)

Suy ra \(\frac{{8\sqrt {x - 4} + 4\sqrt {8 - x} }}{{\sqrt 5 }} \le 8 \Leftrightarrow \frac{{4f\left( x \right)}}{{\sqrt 5 }} \le 8 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 2\sqrt 5 .\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{{36}}{5}.\)

Vậy \(M = 2\sqrt 5 .\)