Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {7 - 2x} + \sqrt {3x + 4} .\)

* Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l} 7 - 2x \ge 0\\ 3x + 4 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{4}{3} \le x \le \frac{7}{2}\) nên TXĐ \({\rm{D}} = \left[ { - \frac{4}{3};\frac{7}{2}} \right].\)

Ta có:

\({y^2} = {\left( {\sqrt {7 - 2x} + \sqrt {3x + 4} } \right)^2} = 7 - 2x + 2\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)} + 3x + 4\)

\(= x + 11 + 2\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)} = \frac{1}{3}\left( {3x + 4} \right) + 2\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)} + \frac{{29}}{3}.\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l} 3x + 4 \ge 0\\ \sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)} \ge 0 \end{array} \right.,\,\,\forall x \in \left[ { - \frac{4}{3};\frac{7}{2}} \right]\) nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \ge \frac{{29}}{3} \Rightarrow f\left( x \right) \ge \frac{{\sqrt {87} }}{3}.\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = - \frac{4}{3}.\)

Vậy \(m = \frac{{\sqrt {87} }}{3}.\)