Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {8 - {x^2}} .\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \({f^2}\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {8 - {x^2}} } \right)^2} = {x^2} + 2x\sqrt {8 - {x^2}} + 8 - {x^2} = 8 + 2x\sqrt {8 - {x^2}} .\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta \(2x\sqrt {8 - {x^2}} \le {x^2} + {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} } \right)^2} = 8\)

\(\Rightarrow {f^2}\left( x \right) = 8 + 2x\sqrt {8 - {x^2}} \le 8 + 8 = 16 \Rightarrow f\left( x \right) \le 4.\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} } \right)^2}\\ 2x\sqrt {8 - {x^2}} = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Vậy M = 4