Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện \({x^2}y + x{y^2} = x + y + 3xy\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y là:

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có \(xy\left( {x + y} \right) = x + y + 3xy\). (*)

Vì \(x > 0,{\rm{ }}y > 0\) nên \(x + y > 0\). Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 3 \ge \frac{4}{{x + y}} + 3\)

\(\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + y \le - 1\\ x + y \ge 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow x + y \ge 4\) (do x, y > 0).