Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+ y + z = 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( + + \right)\) bằng:

* Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

\({x^3} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \ge 4x\) hay \({x^3} + 3\sqrt[3]{x} \ge 4x\).

Tương tự: \({y^3} + 3\sqrt[3]{y} \ge 4y\) và \({z^3} + 3\sqrt[3]{z} \ge 4z\).

Suy ra \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}} \right) \ge 4\left( {x + y + z} \right) = 12.\)

Khi x = y = z = 1 thì P = 12