Cho ba số thực a, b, c không âm và thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4\). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) lần lượt là:

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} \le 4.\)

Ta có \(4 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} .\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}} \ge {a^2}{b^2}{c^2}\).

Từ đó suy ra \(4 \le {a^2} + {b^2} + {c^{2}} + \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}} \) hay \(\sqrt {\frac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4 - S \Leftrightarrow 3 \le S \le 4.\)