Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

* Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có $AB//CD,CD\subset \left(SCD\right)\Rightarrow AB//\left(SCD\right)$

Lại có $SD\subset \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(AB,SD\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(A,\left(SCD\right)\right)$

Mặt khác $OA\cap \left(SCD\right)=C\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=\frac{CA}{CO}.d\left(O,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right).$

Trong tam giác OCD vuông tại O kẻ $OM\perp CD,$ ta có $SO\perp CD\Rightarrow CD\perp \left(SOM\right)$

Mà $CD\subset \left(SCD\right)\Rightarrow \left(SOM\right)\perp \left(SCD\right)$

Trong mặt phẳng (SOM) kẻ $OH\perp OM$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SOM\right)\perp \left(SCD\right)\\ \left(SOM\right)\cap \left(SCD\right)=SM\\ OH\subset \left(SOM\right),OH\perp SM\end{array}\right.\Rightarrow OH\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(O,\left(SCD\right)\right)=OH$.

Tam giác SOD vuông tại O có $OD=\frac{1}{2}BD=2a,SD=2\sqrt{2}a$

$\Rightarrow SO=\sqrt{S{D}^2-O{D}^2}=2a.$

Tam giác OCD vuông tại O có $OD=2a,OC=2\sqrt{3}a$ và $OM\perp CD$

$\Rightarrow OM=\frac{OC.OD}{\sqrt{O{C}^2+O{D}^2}}=\frac{2\sqrt{3}a.2a}{\sqrt{{\left(2\sqrt{3}a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2}}\Rightarrow OM=\sqrt{3}a.$

Tam giác SOM vuông tại O có $OM=\sqrt{3}a,SO=2a$ và $OH\perp SM$

$\Rightarrow OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}}=\frac{2a.\sqrt{3}a}{\sqrt{{\left(2a\right)}^2+{\left(\sqrt{3}a\right)}^2}}\Rightarrow OH=\frac{2\sqrt{21}a}{7}.$

Vậy $d\left(AB,SD\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)=\frac{4\sqrt{21}a}{7}.$