Tìm tất cả những giá trị thực của m để bất phương trình sau có nghiệm với

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét hàm số $f\left(x\right)=\sqrt[4]{2x}+\sqrt{2x}+2\sqrt[4]{6-x}+2\sqrt{6-x}$ trên đoạn $\left[0;6\right]$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{{\left(2x\right)}^3}}-\frac{1}{\sqrt[4]{{\left(6-x\right)}^3}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{\sqrt{6-x}}\right)$

$\iff f\text{'}\left(x\right)=\left(\frac{1}{\sqrt[4]{2x}}-\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}\right)\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{{\left(2x\right)}^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{{\left(6-x\right)}^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2x\left(6-x\right)}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt[4]{2x}}+\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}\right)\right]$

Vì $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{{\left(2x\right)}^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{{\left(6-x\right)}^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2x\left(6-x\right)}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt[4]{2x}}+\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}\right)>0,\forall x\in \left(0;6\right)$ nên $f\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{1}{\sqrt[4]{2x}}-\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}=0\iff x=2$

Mà $f\left(0\right)=2\sqrt{6}+2\sqrt[4]{6};f\left(2\right)=3\sqrt{2}+6;f\left(6\right)=2\sqrt{3}+\sqrt[4]{12}$

Nên $\underset{\left[0;6\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=3\sqrt{2}+6$ và $\underset{\left[0;6\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(6\right)=\sqrt[4]{12}+2\sqrt{3}$

Khi đó, để phương trình có nghiệm với mọi $x\in \left[0;6\right]$ thì $m<\underset{\left[0;6\right]}{\min }f\left(x\right)\iff m<\sqrt[4]{12}+2\sqrt{3}$