Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng S = căn 3/36.(a + b + c)^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Với p là nửa chu vi của tam giác ta có:

$S=\frac{\sqrt{3}}{36}{\left(a+b+c\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{36}.{\left(2p\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{9}{p}^2$

Theo công thức He-rong ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\frac{\sqrt{3}}{9}{p}^2 \\ \iff \left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)=\frac{1}{27}{p}^3 \end{gathered}$$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$$\begin{gathered} \left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le \frac{{\left(p-a+p-b+p-c\right)}^3}{27} \\ =\frac{{\left(3p-\left(a+b+c\right)\right)}^3}{27}=\frac{{\left(3p-2p\right)}^3}{27}=\frac{p^3}{27} \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Khi đó tam giác ABC đều