Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính cos góc giữa hai trung tuyến BE và CF

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi a là góc tạo bởi hai trung tuyến BE, CF

Khi đó $\cos a=\frac{\left|\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}\right|}{\left|\overrightarrow{BE}\right|\left|\overrightarrow{CF}\right|}$

Sử dụng phân tích

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\right)\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\right) \\ =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AF} \\ =0-\overrightarrow{AB}.\frac{\overrightarrow{AB}}{2}-\overrightarrow{AC}.\frac{\overrightarrow{AC}}{2}+0 \\ =-\frac{A{B}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{2}=-\frac{A{B}^2}{2}-\frac{A{B}^2}{2}=-A{B}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} BE=CF=\sqrt{A{B}^2+A{E}^2} \\ =\sqrt{A{B}^2+\frac{A{B}^2}{4}}=AB\sqrt{\frac{5}{4}} \end{gathered}$$

Từ đó suy ra $\cos a=\frac{A{B}^2}{A{B}^2\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}$