Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’. Đẳng thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{G\text{'}A\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}B\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh $3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$

Ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$

Tương tự ta có: $3\overrightarrow{MG\text{'}}=\overrightarrow{MA\text{'}}+\overrightarrow{MB\text{'}}+\overrightarrow{MC\text{'}}$

Từ đó suy ra

$$\begin{gathered} 3\overrightarrow{GG\text{'}}=3\left(\overrightarrow{MG\text{'}}-\overrightarrow{MG}\right)=3\overrightarrow{MG\text{'}}-3\overrightarrow{MG} \\ =\overrightarrow{MA\text{'}}+\overrightarrow{MB\text{'}}+\overrightarrow{MC\text{'}}-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \\ =\left(\overrightarrow{MA\text{'}}-\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{MB\text{'}}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MC\text{'}}-\overrightarrow{MC}\right) \\ =\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}} \end{gathered}$$

Nên A đúng

Đáp án B:

$$\begin{gathered} 3\overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{GG\text{'}} \\ =\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}G\text{'}}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}G\text{'}}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB\text{'}}+\overrightarrow{B\text{'}G\text{'}} \\ =\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{AC\text{'}}+\overrightarrow{BA\text{'}}+\overrightarrow{CB\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{C\text{'}G\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}G\text{'}}+\overrightarrow{B\text{'}G\text{'}}\right) \\ =\overrightarrow{0}+\left(\overrightarrow{AC\text{'}}+\overrightarrow{BA\text{'}}+\overrightarrow{CB\text{'}}\right)+\overrightarrow{0} \\ =\overrightarrow{AC\text{'}}+\overrightarrow{BA\text{'}}+\overrightarrow{CB\text{'}} \end{gathered}$$

Nên B đúng

Đáp án C:

$$\begin{gathered} 3\overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{GG\text{'}} \\ =\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB\text{'}}+\overrightarrow{B\text{'}G\text{'}}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}G\text{'}}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CA\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}G\text{'}} \\ =\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{AB\text{'}}+\overrightarrow{BC\text{'}}+\overrightarrow{CA\text{'}}\right)+\left(\overrightarrow{B\text{'}G\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}G\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}G\text{'}}\right) \\ =\overrightarrow{0}+\left(\overrightarrow{AB\text{'}}+\overrightarrow{BC\text{'}}+\overrightarrow{CA\text{'}}\right)+\overrightarrow{0} \\ =\overrightarrow{AB\text{'}}+\overrightarrow{BC\text{'}}+\overrightarrow{CA\text{'}} \end{gathered}$$

Nên C đúng

D sai do A đúng