Cho biểu thức A = 2sin^6 x + 2cos^6 x - sin^4 x - cos^4 x + cos2x có giá trị

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}A=2{\sin }^{6}x+2{\cos }^{6}x-{\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x+\cos 2x\\ =2\left({\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x\right)-\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)+\cos 2x\end{array} \\ =2.\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\cos }^{2}2x\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\cos }^{2}2x\right)+\cos 2x \\ ={\cos }^{2}2x+\cos 2x \end{gathered}$$

Đặt $\cos 2x=t,t\in \left[-1;1\right]$

Khi đó, $A=t^2+t,t\in \left[-1;1\right]$. Ta có:

$A=t^2+t={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\ge -\frac{1}{4}\Rightarrow \underset{t\in \left[-1;1\right]}{\min }A=-\frac{1}{4}$

Khi và chỉ khi $t=-\frac{1}{2}\Rightarrow m=-\frac{1}{4}$

$$\begin{gathered} A=t^2+t=t^2-t+2t-2+2 \\ =t\left(t-1\right)+2\left(t-1\right)+2 \\ =\left(t-1\right)\left(t+2\right)+2\le 2 \\ (vì t\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t-1\le 0,t+2>0) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \underset{t\in \left[-1;1\right]}{\max }A=2$ khi và chỉ khi $t=1\Rightarrow M=2$

Vậy $M+m=2+\frac{-1}{4}=\frac{7}{4}$