Nếu biết 3sin^4 x + 2cos^4 x = 98/81 thì giá trị biểu thức A = 2sin^4 x + 3cos^4 x

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có:

$$\begin{gathered} 3{\sin }^{4}x+2{\cos }^{4}x=\frac{98}{81} \\ 2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{4}x=A \end{gathered}$$

Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên ta được:

$$\begin{gathered} {\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=\frac{98}{81}-A \\ \iff \left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=\frac{98}{81}-A \\ \iff \left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)=\frac{98}{81}-A \\ \iff \left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=A-\frac{98}{81} \\ \iff \cos 2x=A-\frac{98}{81} \end{gathered}$$

Cộng vế với vế hai đẳng thức đầu bài ta được:

$$\begin{gathered} 5{\sin }^{4}x+5{\cos }^{4}x=A+\frac{98}{81} \\ \iff 5\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)=A+\frac{98}{81} \\ \iff 5\left[{\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]=A+\frac{98}{81} \\ \iff 5\left(1-\frac{1}{2}.4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)=A+\frac{98}{81} \\ \iff 5\left(1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x\right)=A+\frac{98}{81} \\ \iff 1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{5}\left(A+\frac{98}{81}\right) \\ \iff 1+{\cos }^{2}2x=\frac{2}{5}\left(A+\frac{98}{81}\right) \end{gathered}$$

Thay ta được:

$1+{\left(A-\frac{98}{81}\right)}^2=\frac{2}{5}\left(A+\frac{98}{81}\right)=\frac{2}{5}\left(A-\frac{98}{81}\right)+\frac{392}{405}$

Đặt $A-\frac{98}{81}=t\Rightarrow t^2-\frac{2}{5}t+\frac{13}{405}=0\iff \left[\begin{array}{c}t=\frac{13}{45}\\ t=\frac{1}{9}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} + t=\frac{13}{45}\Rightarrow A=\frac{607}{405} \\ + t=\frac{1}{9}\Rightarrow A=\frac{107}{81} \end{gathered}$$