Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG.

* Hướng dẫn giải

a) Vì ABDE, ACFG là các hình vuông nên ta có E, A, C thẳng hàng và B, A, G cũng thẳng hàng (1) và EC = BG.

Mà $\widehat{EBA}=\widehat{AGC}$= 45⁰ (2).

Từ (1) và (2)

Suy ra EB//CG & EC = BG Þ EBCG là hình thang cân.

b) Chứng minh AEKG là hình chữ nhật, mà M là trung điểm EG nên K, A, M thẳng hàng.

c) Gọi H = MA Ç BC

Vì BEGC là hình thang cân nên DBEG = DEBC (c-g-c) Þ $\widehat{ECB}=\widehat{EGB}$ mà $\widehat{EGA}=\widehat{MAG}=\widehat{BAH}$ 

Þ $\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=\widehat{ECB}+\widehat{ABC}$ = 90⁰ Þ MA ^BC tại H.

d) DABK = DBDC vì AB = DB, KA = EG = BC, $\widehat{BAK}=\widehat{DBC}\Rightarrow \widehat{BKA}=\widehat{BCD}$ mà KA ^ BC Þ CD ^ BK.

Chứng minh tương tự ta cũng có BF ^ KC.

Þ DKBC cosBF, CD, AM là 3 đường cao Þ đồng quy tại trực tâm I