Tìm các giá trị của m để phương trình căn(x+1)=x+m có nghiệm

* Hướng dẫn giải

$2\sqrt{x+1}=x+m\left(1\right)$

Phương trình tương đương: $\left\{\begin{array}{c}x+m\ge 0\\ 4\left(x+1\right)=x^2+2mx+m^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -m\\ x^2+2\left(m-2\right)x+m^2-4=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Phương trình (2) có nghiệm <=> pt (2) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng –m

$\Delta \text{'}=8-4m$

Phương trình (2) có nghiệm $\iff \Delta \text{'}\ge 0\iff m\le 2$

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm $\left\{\begin{array}{c}{x}_1=2-m-\sqrt{8-4m}\\ x_2=2-m+\sqrt{8-4m}\end{array}\right.$

Dễ thấy $x_2=2-m+\sqrt{8-4m}>-m,\forall m\le 2$ nên (2) luôn có ít nhất 1 nghiệm $x\ge -m$ thỏa mãn bài toán

Vậy $m\le 2$

Đáp án cần chọn là: C