Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình căn(x+2)+căn(2-x)

* Hướng dẫn giải

Đặt $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}$

Điều kiện $t=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}\ge \sqrt{x+2+2-x}=2\Rightarrow t\ge 2$

Lại có $\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}\le \sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{x+2+2-x}=2\sqrt{2}\Rightarrow t\le 2\sqrt{2}$

Suy ra $2\le t\le 2\sqrt{2}$

Ta có: $t^2=4+2\sqrt{4-x^2}\Rightarrow 2\sqrt{4-x^2}=t^2-4$

Phương trình trở thành: $t+t^2-4-2m+3=0\iff t^2+t-2m-1=0$

$\iff t^2+t-1=2m\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=t^2+t-1$ (parabol có hoành độ đỉnh $x=-\frac{1}{2}\notin \left[2;2\sqrt{2}\right]$) trên $\left[2;2\sqrt{2}\right]$ , có bảng biến thiên

Phương trình (∗) có nghiệm thỏa $2\le t\le 2\sqrt{2}$  khi $5\le 2m\le 7+2\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{5}{2}\le m\le \frac{7+2\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5}{2}\le m\le \frac{7+2\sqrt{2}}{2}\to \left(2,5\le m\le 4,91\right)$

Vậy có 2 giá trị m nguyên dương là $m=3,m=4$

Đáp án cần chọn là: D