Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x^2-4x+6+3m=0

* Hướng dẫn giải

Ta có: $x^2-4x+6+3m=0\iff 3m=-x^2+4x-6$

Số nghiệm của phương trình $x^2-4x+6+3m=0$ là số giao điểm của đường thẳng $y=3m$ và parabol $y=-x^2+4x-6$

Parabol $y=-x^2+4x-6$ có hoành độ đỉnh $x=2\in \left[-1;3\right]$, hệ số $a=-1<0$ nên đồng biến khi $x<2$ và nghịch biến khi $x>2$.

Bảng biến thiên của hàm số $y=-x^2+4x-6$ trên đoạn $\left[-1;3\right]$:

Từ bảng biến thiên ta thấy, nếu phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[-1;3\right]$ thì đường thẳng $y=3m$ phải cắt parabol tại ít nhất 1 điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$.

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$$\iff -11\le 3m\le -2$$\iff -\frac{11}{3}\le m\le -\frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là: B