Cho hệ phương trình; mx+(m+2)y=5 và x+my=2m+3. Để hệ phương

* Hướng dẫn giải

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& m+2\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-m-2$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}5& m+2\\ 2m+3& m\end{array}\right|=5m-(m+2)(2m+3)=-2m^2-2m-6$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 5\\ 1& 2m+3\end{array}\right|=2m^2+3m-5$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $D\ne 0\iff m^2-m-2\ne 0\iff \left[\begin{array}{c}m\ne -1\\ m\ne 2\end{array}\right.$

Khi đó: $x=\frac{D_x}{D}=\frac{-2(m^2+m+3)}{m^2-m-2};y=\frac{D_y}{D}=\frac{2m^2+3m-5}{m^2-m-2}$

Để hệ phương trình có nghiệm âm thì: $\left\{\begin{array}{c}\frac{-2(m^2+m+3)}{m^2-m-2}<0\left(1\right)\\ \frac{2m^2+3m-5}{m^2-m-2}<0\left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff \frac{m^2+m+3}{m^2-m-2}>0\iff m^2-m-2>0$$(vì m^2+m+3={\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0,\forall m)$

$\iff \left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>2\end{array}\right.\left(*\right)$

$\left(2\right)\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}2m^2+3m-5>0\\ m^2-m-2<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}2m^2+3m-5<0\\ m^2-m-2>0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m<-\frac{5}{2}\\ m>1\end{array}\right.\\ -1<m<2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}-\frac{5}{2}<m<1\\ \left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>2\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}1<m<2\\ -\frac{5}{2}<m<-1\end{array}\right.\left(**\right)$

Từ (*) và (**) suy ra $-\frac{5}{2}<m<-1$

Đáp án cần chọn là: D