Tổng bình phương các nghiệm của phương trình căn (4x^2+x+6)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x+1\ge 0\iff x\ge -1$

Ta có: $\sqrt{4x^2+x+6}=4x-2+7\sqrt{x+1}$

$\iff \sqrt{4x^2-4x+1+5x+5}=2\left(2x-1\right)+7\sqrt{x+1}$

$\iff \sqrt{{\left(2x-1\right)}^2+5\left(x+1\right)}=2\left(2x-1\right)+7\sqrt{x+1}$

$\iff \sqrt{\frac{{\left(2x-1\right)}^2}{x+1}+5}=2.\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}+7$

Đặt $t=\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}$, phương trình trở thành: $\sqrt{t^2+5}=2t+7$

Điều kiện $2t+7\ge 0\iff t\ge -\frac{7}{2}$

Phương trình:

$\iff t^2+5={\left(2t+7\right)}^2\iff t^2+5=4t^2+28t+49$

$\iff 3t^2+28t+44=0\iff \left[\begin{array}{c}t=-2\left(tm\right)\\ t=-\frac{22}{3}\left(ktm\right)\end{array}\right.$

+ Với $t=-2\iff -2=\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}\iff \sqrt{x+1}=-x+\frac{1}{2}\left(*\right)$

Điều kiện $-x+\frac{1}{2}\ge 0\iff x\le \frac{1}{2}$

Khi đó $\left(*\right)\iff x+1=x^2-x+\frac{1}{4}\iff x^2-2x-\frac{3}{4}\iff 4x^2-8x-3=0$

Giả sử $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi-et, ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1.x_2=4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$

Đáp án cần chọn là: C