Định k để phương trình: x^2+4/x^2-4(x-2/x)+k-1=0 có đúng hai

* Hướng dẫn giải

Ta có: $x^2+\frac{4}{x^2}-4\left(x-\frac{2}{x}\right)+k-1=0$

$\iff {\left(x-\frac{2}{x}\right)}^2-4\left(x-\frac{2}{x}\right)+k+3=0\left(1\right)$

Đặt $t=x-\frac{2}{x}hay{x}^2-tx-2=0$, phương trình trở thành $t^2-4t+k+3=0$ (2)

Nhận xét: Với mỗi nghiệm t của phương trình (2) cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình (1)

Ta có :

$∆\text{'}=4-\left(k+3\right)=1-k\Rightarrow$ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $t_1=2-\sqrt{1-k},t_2=2+\sqrt{1-k}$ với $k<1$

+ Với $t_1=2-\sqrt{1-k}$ thì phương trình $x^2-\left(2-\sqrt{1-k}\right)x-2=0$ có 1 nghiệm

$x>1\iff af\left(1\right)<0\iff 1^2-\left(2-\sqrt{1-k}\right).1-2<0\iff k>-8$

+ Với $t_2=2+\sqrt{1-k}$ thì phương trình $x^2-\left(2+\sqrt{1-k}\right)x-2=0$ có 1 nghiệm

$x>1\iff af\left(1\right)<0\iff 1^2-\left(2+\sqrt{1-k}\right).1-2<0$$\iff -3-\sqrt{1-k}<0$ (luôn đúng với $k<1$)

Vậy kết hợp điều kiện $k<1$ ta được $-8<k<1$

Đáp án cần chọn là: B