Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (-2019;2019) để

* Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta ={\left(4m-3\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(1-2m\right)={\left(4m-1\right)}^2$

$2{\left(x^2+2x\right)}^2-\left(4m-3\right)\left(x^2+2x\right)+1-2m=0\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2+2x=-\frac{1}{2}\left(1\right)\\ x^2+2x=2m-1\left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff x^2+2x+\frac{1}{2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}\in \left[-3;0\right]\\ x=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}\in \left[-3;0\right]\end{array}\right.$

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$

$\left(2\right)\iff {\left(x+1\right)}^2=2m.$ Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nhưng không thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ hoặc vô nghiệm.

Xét (2), nếu $m<0$ thì (2) vô nghiệm (thỏa mãn yêu cầu).

+) Nếu $m=0$ thì (2) có nghiệm duy nhất $x=-1\in \left[-3;0\right]$ (không thỏa yêu cầu).

+) Nếu $m>0$ thì (2) có hai nghiệm phân biệt $x_1=-1-2\sqrt{m}<-1+2\sqrt{m}=x_2$

Để (2) có hai nghiệm không thuộc $\left[-3;0\right]$ nếu

$\left\{\begin{array}{c}-1-\sqrt{2m}<-3\\ -1+\sqrt{2m}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>2\\ m>\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff m>2$

Vậy $\left[\begin{array}{c}m<0\\ m>2\end{array}\right.$

Mà $m\in \left(-2019;2019\right)$ và $m\in Z$ nên $m\in \left\{-2018;-2017;...;-1;3;4;...;2018\right\}$

Số các giá trị của m thỏa mãn bài toán là 2018 + 2016 = 4034.

Đáp án cần chọn là: D