Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2(x^2+2x)^2

* Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta ={\left(4m-1\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(2m-1\right)={\left(4m-3\right)}^2\ge 0$ với mọi m

Khi đó: $2{\left(x^2+2x\right)}^2-\left(4m-1\right)\left(x^2+2x\right)+2m-1=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2+2x=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ x^2+2x=2m-1\left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff x^2+2x-\frac{1}{2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\notin \left[-3;0\right]\\ x=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\in \left[-3;0\right]\end{array}\right.$

Do đó (1) chỉ có 1 nghiệm thuộc $\left[-3;0\right]$

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ và hai nghiệm này phải khác $\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$

$\left(2\right)\iff {\left(x+1\right)}^2=2m$

Điều kiện $2m\ge 0\iff m\ge 0$

+) Với m = 0 thì 

$$\begin{gathered} {\left(x+1\right)}^2=0 \\ \iff x + 1 =0 \\ \iff x = -1\in \left[-3;0\right] \end{gathered}$$

Khi đó, phương trình (2) có 1 nghiệm x = -1 nên không thỏa mãn.

+) Với m > 0 thì phường trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác $\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$ và thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$

$\iff \left\{\begin{array}{c}2m>0\\ {\left(\frac{-2-\sqrt{6}}{2}+1\right)}^2\ne 2m\\ -3\le -1+\sqrt{2m}\le 0\\ -3\le -1-\sqrt{2m}\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>0\\ m\ne \frac{3}{4}\\ m\le \frac{1}{2}\\ m\le 2\end{array}\right.$

Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D