Tìm m để khoảng cách tù gốc tọa độ O đến đường thẳng d: y = mx

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi A  và B lần lượt là  giao điểm của đường thẳng d  với Ox và  Oy, 

Khi đó;

 $$\begin{gathered} A(\frac{m- 1}{m};0); B(0; - m +\hspace{0.17em}1) \\ OA\hspace{0.17em}= \left|\frac{m- 1}{m}\right|; OB\hspace{0.17em}= | - m +\hspace{0.17em}1| \end{gathered}$$

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d) thì OH là khoảng cách từ  O đến đường thẳng d.

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào tam giác OAB; đường cao OH ta có: 

 $$\begin{gathered} \frac{1}{O{H}^2} = \frac{1}{O{A}^2} +\hspace{0.17em} \frac{1}{O{B}^2} = \frac{O{A}^2+\hspace{0.17em}O{B}^2}{O{A}^2. O{B}^2} \\ \Rightarrow OH\hspace{0.17em}= \frac{ OA. OB}{\sqrt{O{A}^2+\hspace{0.17em}O{B}^2}} \\ \Rightarrow O{H}_{min}\iff \left(\frac{ OA. OB}{\sqrt{O{A}^2+\hspace{0.17em}O{B}^2}}\right)min \end{gathered}$$

Ta có:

$\frac{OA. OB}{\sqrt{O{A}^2+\hspace{0.17em}O{B}^2}} = \frac{\left|{\displaystyle \frac{m- 1}{m}}\right|. \left|-m +\hspace{0.17em}1\right|}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{m-1}{m}}\right)}^2 +\hspace{0.17em}{(-m+\hspace{0.17em}1)}^2}}= \frac{{(m-1)}^2}{\sqrt{{(m-1)}^2. (1+\hspace{0.17em}{m}^2)}}= \frac{\left|m -1\right|}{\sqrt{1+m^2}}$

Áp dụng  bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: 

$$\begin{gathered} {(1.m - 1.1)}^2\le (1^2+\hspace{0.17em}{(-1)}^2) . (m^2\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}{1}^2) \\ \iff {(m-1)}^2\le 2. (m^2+1) \\ \iff \left|m - 1\right| \le \sqrt{2}. \sqrt{m^2+\hspace{0.17em}1 } \end{gathered}$$

$\Rightarrow \frac{\left|m - 1\right|}{\sqrt{m^2+\hspace{0.17em}1}} \le \frac{\sqrt{2}. \sqrt{m^2 +\hspace{0.17em}1}}{\sqrt{m^2 +\hspace{0.17em}1}} = \sqrt{2}$

Vậy $O{H}_{min}=\sqrt{2}$ khi m = -1