Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Hãy

* Hướng dẫn giải

Ta có ABMN là tứ giác có hai đường chéo AM và BN vuông góc

nên có diện tích là: S_ABMN = $\frac{1}{2}$AB.MN

Hai tam giác AMC và ABC có chung đường cao hạ từ A

nên$\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}$

=> S_AMC = $\frac{1}{2}$S_ABC (1)

Hai tam giác AMN và AMC có chung đường cao hạ từ M

nên$\frac{S_{AMN}}{S_{AMC}}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$

=> S_AMB = $\frac{1}{2}$S_ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_AMN = $\frac{1}{4}$S_ABC

Hai tam giác AMB và ABC có chung đường cao hạ từ A

nên$\frac{S_{AMB}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}$

=> S_AMB = $\frac{1}{2}$S_ABC

Ta có: S_ABMN = S_AMN + S_ABM

= $\frac{1}{4}$S_ABC +$\frac{1}{2}$S_ABC = $\frac{3}{4}$ S_ABC

=> S_ABC = $\frac{4}{3}$S_ABMN = $\frac{4}{3}$.AM.$\frac{1}{2}$BN = $\frac{2}{3}$AM.BN

Đáp án cần chọn là: D