Cho điểm A(1;3) và đường thẳng d: x – y + 4 = 0. Số đường thẳng qua A

* Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{n_{\Delta }}(a;b)(a^2+\text{}{b}^2>0)$

Đường thẳng d có VTPT là $\overrightarrow{n_d}(1;-1)$

Để đường thẳng d tạo với đường thẳng ∆ góc 45⁰ nên ta có:

$\begin{array}{l}{\text{cos 45}}^0=\left|c\text{os ( }\overrightarrow{n_d};\overrightarrow{n_{\Delta }})\right|=\frac{\left|1.a-1.b\right|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\\ \iff \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\iff \sqrt{a^2+\text{}{b}^2}=\left|a-b\right|\\ \iff a^2+\text{}{b}^2=a^2-2ab+\text{}{b}^2\iff 2ab=0\iff \left[\begin{array}{c}a=0\\ b=0\end{array}\right.\end{array}$

 * Nếu a = 0 thì chọn b = 1 .  Đường thẳng ∆ nhận vecto (0; 1) làm  VTPT và qua A( 1;3) nên có

 phương trình là 0 (x- 1) + 1( y – 3) = 0 hay y – 3 = 0.

 * Nếu b = 0 thì chọn a =1. Đường thẳng ∆ nhận vecto (1; 0) làm  VTPT và qua A(1;3) nên có

 phương trình là 1 (x- 1) + 0( y – 3) = 0 hay x= 1

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn là:  y – 3 =0 và x = 1