Cho đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 5 = 0

* Hướng dẫn giải

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 5 = 0 nên tâm I(5 – 2y; y). Mà đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng $d_1: 3x-y+5=0 và d_2: x+3y-13=0$  nên có bán kính $R=d\left(I;d_1\right)=d\left(I; d_2\right)$

$\Rightarrow \frac{\left|3\text{}(5-2y)-y+5\right|}{\sqrt{3^2+\text{}{(-1)}^2}}=\frac{\left|5-2y+\text{}3y-13\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\left|20-7y\right|}{\sqrt{10}}=\frac{\left|-8+\text{}y\right|}{\sqrt{10}}\iff \left|20-7y\right|=\left|-8+\text{}y\right|\\ \iff 400-280y+\text{}49y^2=64-\text{}16y+\text{}{y}^2\\ \iff 48y^2-264y+336=0\\ \iff \left[\begin{array}{c}y=2\\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Tương ứng ta có hai bán kính của (C) là $R_1=\frac{6}{\sqrt{10}}, R_2=\frac{9}{2\sqrt{10}}$

Đáp án là D.