Tìm m để hàm số y = m/(x + 2) luôn nghịch biến trong khoảng xác định của nó

* Hướng dẫn giải

Tập xác định :  D=  R\ {-2}.

  Lấy $x_1\ne x_2$, khi đó ta có:

$$\begin{gathered} \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{{\displaystyle \frac{m}{x_2+2}}-{\displaystyle \frac{m}{x_1+2}}}{x_2-x_1}=\frac{{\displaystyle \frac{m\left(x_1+2\right)-m\left(x_2+2\right)}{\left(x_2+2\right).\left(x_1+2\right)}}}{x_2-x_1} \\ =\frac{m\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_2+2\right)\left(x_1+2\right)\left(x_2-x_1\right)}=\frac{-m}{\left(x_2+2\right)\left(x_1+2\right)} \end{gathered}$$

Với $x_1;x_2$ thuộc $\left(-2;+\infty \right)$ hoặc cùng thuộc $\left(-\infty ;-2\right)$ thì $\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)>0$

Vì vậy f(x) nghịch biến khi $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<0\iff -m<0\iff m>0$.