Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác đều

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC, khi đó từ giả thiết ta có A'H ⊥ (ABC).

Ta có: $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét $∆A\text{'}AH$ vuông tại H, ta có:

A'H =$\sqrt{AA{\text{'}}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}$ 

Thể tích hình lăng trụ ABCA'B'C' là: 

$V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{∆ABC}.A\text{'}H=\frac{1}{2}BC.AH.A\text{'}H=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{13}}{2}=\frac{a^3\sqrt{39}}{8}$

Ta có: ${\mathrm{V}}_{\mathrm{A}.\mathrm{BCC}\text{'}\mathrm{B}\text{'} }= {\mathrm{V}}_{\mathrm{ABC}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}} - {\mathrm{V}}_{\mathrm{A}\text{'}.\mathrm{AB}\text{'}C\text{'}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{ABC}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}} -\frac{1}{3} {\mathrm{V}}_{\mathrm{ABC}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{2}{3}{\mathrm{V}}_{\mathrm{ABC}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{2}{3}.\frac{{\mathrm{a}}^3\sqrt{39}}{8}=\frac{{\mathrm{a}}^3\sqrt{39}}{12}$