Giá trị của biểu thức \(T = \tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ \) bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = \tan 9^\circ  - \tan 27^\circ  - \tan 63^\circ  + \tan 81^\circ \\ \;\;\;\,= \left( {\tan 9^\circ  + \tan 81^\circ } \right) - \left( {\tan 27^\circ  + \tan 63^\circ } \right)\end{array}\)

\(\;\;\; \;= \dfrac{{\sin 9^\circ \cos 81^\circ  + \sin 81^\circ \cos 9^\circ }}{{\cos 9^\circ \cos 81^\circ }} - \dfrac{{\sin 27^\circ \cos 63^\circ  + \sin 63^\circ \cos 27^\circ }}{{\cos 27^\circ \cos 63^\circ }}\)

\(\;\;\;\; = \dfrac{{\sin 90^\circ }}{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 90^\circ  + \cos 72^\circ } \right)}} - \dfrac{{\sin 90^\circ }}{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 90^\circ  + \cos 36^\circ } \right)}}\)

\(\;\;\;\;= \dfrac{2}{{\cos 72^\circ }} - \dfrac{2}{{\cos 36^\circ }}\)

\(\;\;\;\; = \dfrac{{2\left( {\cos 36^\circ  - \cos 72^\circ } \right)}}{{\cos 72^\circ \cos 36^\circ }}\)

\(\;\;\;\;= \dfrac{{4\sin 54^\circ \sin 18^\circ }}{{\cos 72^\circ \cos 36^\circ }} = 4\)