Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\) với \(x\; > \;1\) là:

* Hướng dẫn giải

Ta có : \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\)\( = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2}\)

Có: \(x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\frac{{x - 1}}{2}\) và \(\frac{2}{{x - 1}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\\ \ge 2.\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}}  = 2\\ \Rightarrow f\left( x \right) \ge 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\end{array}\)