Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 5 = 0\) và điểm \(A\left( { - 4;2} \right).\) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) cắt \(\left(...

* Hướng dẫn giải

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 5 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( C \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\)

\( \Rightarrow \) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 3;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Có \(\overrightarrow {IA} \left( { - 1;\,\,1} \right) \Rightarrow IA = \sqrt 2  < \sqrt 5  = R\) nên điểm \(A\) nằm trong đường tròn.

Vì \(A\)  là trung điểm của \(MN \Rightarrow IA \bot MN.\)

Đường thẳng \(MN\) đi qua \(A\left( { - 4;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IA} \left( { - 1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

\( - 1\left( {x + 4} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow  - x + y - 6 = 0\) \( \Leftrightarrow x - y + 6 = 0.\)