Cho ba số thực dương x, y, z. Biểu thức \(P = \frac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{zx}} + \frac{z}{{xy}}\) có giá trị nhỏ nhất bằng:

* Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

\({x^2} + \frac{y}{{zx}} + \frac{z}{{xy}} \ge 3.\sqrt[3]{{{x^2}.\frac{y}{{zx}}.\frac{z}{{xy}}}} = 3\\{\rm{ }}{y^2} + \frac{x}{{yz}} + \frac{z}{{xy}} \ge 3\\{\rm{ }}{z^2} + \frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{zx}} \ge 3.\)

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {\frac{x}{{yz}} + \frac{y}{{zx}} + \frac{z}{{xy}}} \right) \ge 9\).

Suy ra \(P \ge \frac{9}{2}\). Khi x = y= z thì \(P = \frac{9}{2}.\)