Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a > 0, b > 0 và \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\) với mọi \(x\in R.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({F_{\min }}\) của biểu thức \(F = \frac...

* Hướng dẫn giải

Do hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \le 0,{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow 4ac \ge {b^2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(F = \frac{{4a + c}}{b} \ge \frac{{2\sqrt {4ac} }}{b} \ge \frac{{2\sqrt {{b^2}} }}{b} = \frac{{2b}}{b} = 2.\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} c = 4a\\ {b^2} = 4ac \end{array} \right. \Leftrightarrow b = c = 4a.\)