Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({x^4} + {y^4} + \frac{1}{{xy}} = xy + 2\). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy lần lượt là:

* Hướng dẫn giải

Ta có \({x^4} + {y^4} \ge 2{x^2}{y^2}\), kết hợp với giả thiết ta được \(xy + 2 \ge 2{x^2}{y^2} + \frac{1}{{xy}}.\)

Đặt \(xy = t > 0\), ta được \(t + 2 \ge 2{t^2} + \frac{1}{t} \Leftrightarrow 2{t^3} - {t^2} - \left( {2t - 1} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {2t - 1} \right) \le 0 \\\Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {2t - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le t \le 1.\)