Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0;1) và thỏa mãn \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {a + b} \right) - ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 0.\) Giá trị lớn nhất...

* Hướng dẫn giải

Giải thiết \(\Leftrightarrow \frac{{\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {a + b} \right)}}{{ab}} = \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\) (*)

\(\frac{{\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {a + b} \right)}}{{ab}} = \left( {\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{a}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 2\sqrt {ab} .2\sqrt {ab} = 4ab.\) (1)

\(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) = 1 - \left( {a + b} \right) + ab \le 1 - 2\sqrt {ab} + ab.\) (2)

Từ (1), (2) và (*) ta được

\(4ab \le 1 - 2\sqrt {ab} + ab\\ \Leftrightarrow 3ab + 2\sqrt {ab} - 1 \le 0 \Rightarrow 0 < ab \le \frac{1}{9}.\)