Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x > y và xy = 1000. Biết biểu thức \(F = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l} x = a\\ y = b \end{a...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(F = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + 2xy}}{{x - y}} = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2.1000}}{{x - y}} = x - y + \frac{{2.1000}}{{x - y}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(F = x - y + \frac{{2.1000}}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\frac{{2.1000}}{{x - y}}} = 40\sqrt 5 .\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy = 1000\\ x - y = \frac{{2.1000}}{{x - y}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy = 1000\\ x - y = 20\sqrt 5 \end{array} \right..\)

Vậy \({F_{\min }} = 4\sqrt 5 \) khi \(\left\{ \begin{array}{l} ab = 1000\\ a - b = 20\sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 2ab = 4000 \Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{1000}} = 4.\)