Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn \(x + y \ge 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({F_{\min }}\) của biểu thức \(F = x + y + \frac{1}{{2x}} + \frac{2}{y}.\)

* Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có

\(\frac{x}{2} + \frac{1}{{2x}} \ge 2\sqrt {\frac{x}{2}.\frac{1}{{2x}}} = 2.\frac{1}{{\sqrt 4 }} = 1\)

\(\frac{y}{2} + \frac{2}{y} \ge 2\sqrt {\frac{y}{2}.\frac{2}{y}} = 2.\)

Khi đó

\(F = x + y + \frac{1}{{2x}} + \frac{2}{y} = \frac{{x + y}}{2} + \left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{{2x}}} \right) + \left( {\frac{y}{2} + \frac{2}{y}} \right) \ge \frac{3}{2} + 1 + 2 = 4\frac{1}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ \frac{x}{2} = \frac{1}{{2x}};\,\,\frac{y}{2} = \frac{2}{y} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 \end{array} \right..\)

Vậy \({F_{\min }} = 4\frac{1}{2}.\)